复变函数/公式测试

复变函数笔记

解析函数

复变函数的极限与连续

复变函数的导数和微分

定义

柯西黎曼条件（可导的必要条件）

Cauchy-Riemann

$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$$

可导的充要条件

可微且满足C-R条件

调和函数

定义

若函数 $u$ 满足拉普拉斯方程

$$\nabla^2u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$

则称其为调和函数。

解析函数与调和函数的关系

若 $f(z)=u+iv$ 为解析函数，则 $u$、$v$ 均为调和函数

若 $u$、$v$ 均为调和函数，且满足C-R条件，则称$v$为$u$的共轭调和函数

若 $u$ 为调和函数，则必然存在其共轭调和函数$v$，使得$f(z)=u+iv$为解析函数

构造调和函数的方法

已知 $u(x,y)=x^2-x-y^2$ 求 $f(z)$

偏积分

$$v_y=u_x=2x-1$$

$$v_x=-u_y=2y$$

$$v=\int v_ydy=\int (2x-1)dy=(2x-1)y+\phi(x)$$

$$v_x=2y+\phi'(x)=2y$$

$$v=(2x-1)y+C=2xy-y+C$$

曲线积分

调和函数，积分结果与路径无关

$$(0,0)\rightarrow(x,y)$$

$$\begin{align*} v &=\int_{(0,0)}^{(x,y)} v_x dx+v_y dy+C \\\\ &=\int_{(0,0)}^{(x,y)} -u_ydx+u_xdy+C \\\\ &=\int_{(0,0)}^{(x,y)} 2ydx+(2x-1)dy+C \end{align*}$$

选取路径

$$(0,0) \rightarrow (x,0) \rightarrow(x,y)$$

$$\begin{align*} v &=\int_{(0,0)}^{(x,0)}2ydx+\int_{(x,0)}^{(x,y)}(2x-1)dy+C \\\\ &=0+\int_{0}^{y}(2x-1)dy+C \\\\ &=2xy-y+C \end{align*}$$

凑全微分

调和函数，可以写成某个函数的全微分

$$\begin{align*} dv&=v_xdx+v_ydy \\\\ &=-u_ydx+u_xdy \\\\ &=2ydx+(2x-1)dy \\\\ &=d(2xy-y) \end{align*}$$

初等解析函数

指数

对数

三角

双曲

$$\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)dx \\\\ \int_{a}^{b}f(x)dx \\\\ \int_{a}^{b}f(x)dx \\\\ \end{align*}$$

\begin{eqnarray\*} \nabla\cdot\vec{E}&=&\frac{\rho}{\epsilon_0} \\\\ \nabla\cdot\vec{B}&=&0 \\\\ \nabla\times\vec{E}&=&-\frac{\partial B}{\partial t} \\\\ \nabla\times\vec{B}&=&\mu_0\left(\vec{J}+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right) \\\\ \end{eqnarray\*}