拉普拉斯变换

拉普拉斯变换、逆变换与卷积（暂时还没整理完）。

感觉有必要单独拿出来讲一下

符号和数理方法稍有不同

拉普拉斯变换

$$\mathscr{L}$$

工程上，采用 0- 定义

$$F(s)=\mathscr{L}[f(t)]=\int_{0-}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$

$$s=\sigma+j\omega$$

$$\sigma>0$$

各种性质

$$\mathscr L[\frac{df}{dt}]=sF(s)-f(0-)$$

$$\mathcal{L}[f*g(t)]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$$

若函数在负半平面=0，则卷积化简为

$$f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}(\xi)f_{2}(t-\xi)d\xi$$

$$f_{1}(t)*f_{2}(t)=\int_{0}^{t}f_{1}(\xi)f_{2}(t-\xi)d\xi$$

常用拉普拉斯变换

$$\delta(t) \leftrightarrow 1$$

$$\frac{d\delta(t)}{dt} \leftrightarrow s$$

$$\varepsilon(t) \leftrightarrow \frac{1}{s}$$

$$\cos{\omega t} \leftrightarrow \frac{s}{s^2+\omega^2}$$

$$\sin{\omega t} \leftrightarrow \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$

拉普拉斯逆变换

$$\mathscr{L}^{-1}[f]$$

性质

	时域	s 域
线性叠加	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$
s 域一阶微分	$t f(t)$	$-F'(s)$
s 域一般微分	$t^n f(t)$	$(-1)^n F^{(n)}(s)$
时域一阶微分	$f'(t)$	$sF(s)-f(0)$
时域二阶微分	$f''(t)$	$s^2 F(s)-s f(0)-f'(0)$
时域一般微分	$f^{(n)}(t)$	$s^n F(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{k-1}f^{(n-k)}(0)$
s 域积分	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_s^\infty F(\sigma)d\sigma$
时域积分	$\int_0^t f(\tau)d\tau=(u*f)(t)$	$\frac{1}{s}F(s)$
时间标度变换	$f(at)$	$\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$
s 域平移	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
时域平移	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$
乘法	$f(t)g(t)$	$\frac{1}{2\pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma)d\sigma$
卷积	$(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$	$F(s)\cdot G(s)$
复共轭	$f^*(t)$	$F^*(s^*)$
互相关	$f(t)\star g(t)$	$F^*(-s^*)G(s)$
周期函数	$f(t)$(周期 $T$)	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}\int_0^T e^{-st}f(t)dt$

TableX?

符号

冲激函数

$$\delta (t)$$

阶跃函数

$$\varepsilon (t) \quad u(t)$$

斜坡函数

$$t\varepsilon (t) \quad tu(t) \quad r(t)$$

拉普拉斯变换

$$\mathcal{L} \quad \mathscr{L}$$

• mathcal：数学字体中的花体字母（caligraphic font）
• mathscr：数学字体中的手写风格字母（script font）

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