工程流体力学笔记(期中)

工程流体力学笔记(期中部分)

B1 流体及其物理性质

连续介质假设

流体的宏观特性

当流体团的体积过小时，平均速度呈波动状态；当体积达到临界体积时，平均速度则为确定值（统计平均）。

流体质点概念

流体质点的物理量的值：对流体质点附近，在临界体积范围内的流体进行统计平均得到

类比质点，流体质点是因为数学分析需要而假想的概念。

连续介质假设

假设流体是由连续分布的流体质点组成的物质。

流体易变形性

流体不能抵抗任何剪力作用下的剪切变形趋势（体积保持不变）。

壁面不滑移假设：流体和固体表面，可以实现分子量级的接触，达到表面不滑移。

流体黏性

流体还有带动或者阻止邻近流体运动的特性，称为流体黏性。

流体黏性的表现

相邻两层流体作相对运动时，有内摩擦作用。

由于存在内摩擦，一层流体对相对运动的另一层流体产生阻力，称为黏性切向力。

流体内摩擦本质：

• 分子内聚力（液体）
  • 液体快速层通过分子内聚力带动慢速层
  • 液体慢速层通过分子内聚力阻滞快速层
  • 表现为内摩擦力
• 分子动量交换（气体）
  • 动量交换表现为力的作用，称为表观切应力
  • 气体内摩擦力以表观切应力为主

流体对固体表面具有黏附作用（壁面不滑移条件）。

牛顿黏性定律

牛顿假设：黏性切应力与两层流体间的相对速度成正比

考虑一维情况，则切应力和速度梯度成正比：

$$\tau_{yx}=\mu \frac{du}{dy}$$

引入角变形速率：

$$\dot{\gamma}=\frac{d\gamma}{dt}=\frac{dudt/dy}{dt}=\frac{du}{dy}$$

可改写成如下形式：

$$\tau_{yx}=\mu \dot{\gamma}$$

该式则可以推广至高维。

当 $\mu$ 为常数时，则称该流体为牛顿流体。

经测定，水和空气都是典型的牛顿流体（做题可能会用到）。

黏度

$$\mu=\frac{\tau_{yx}}{\dot{\gamma}}$$

单位为 $Pa\cdot s$，常用单位为泊：$1 P = 0.1 Pa \cdot s$

温度对流体黏度的影响很大：

• 液体的黏度随温度升高而减小
  • 温度升高，分子间距增大，分子内聚力减小，黏度减小
• 气体的黏度随温度升高而增大
  • 温度升高，加剧气体分子动量交换，表观切应力增大，黏度增大

压强变化对黏度几乎没什么影响。

运动黏度：黏度与密度的比值：

$$\nu=\frac{\mu}{\rho}$$

又称为动量扩散系数，与流动稳定性有关。

流体模型分类

无黏性流体 - 黏性流体

• 牛顿流体：黏度为常数（图 a）
• 非牛顿流体：黏度不是常数，考察表观黏度
  • 剪切变稠流体（图 b，如淀粉糊、混凝土液）
  • 剪切变稀流体（图 c，如油漆、纸浆液）
  • 当切应力超过屈服应力时，流体才开始流动（图 d，如印刷油墨、牙膏）
  • 时变性流体：表观黏度虽切应力作用时间而改变（血液）

可压缩流体 - 不可压缩流体

马赫数 $Ma$ 定义：

$$Ma=\frac{V}{c}$$

• $Ma<0.3$，气体密度相对变化值小于 5%，可以按不可压缩流体处理
• $Ma>0.3$，气体高速流动，应该考虑气体的可压缩性

B2 流动分析基础

描述流体运动的两种方法

拉格朗日法

$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(x,y,z,t)$$

欧拉法

$$\mathbf{v}=\mathbf{v}(x,y,z,t)$$

相互转换

一般来说都是平面流场，且变量已分离或部分分离

给出了某指点的轨迹方程（拉格朗日法），用直接求时间导数的方法，可求出整个流场的速度分布式（欧拉法）

补充：一阶线性非齐次微分方程求解公式

$$y'+P(x)y=Q(x)$$

我们希望把左边凑成全微分

于是，可以两边同乘 $e^{\int{Pdx}}$

$$Q(x)e^{\int{Pdx}}=y'e^{\int{Pdx}}+Pye^{\int{Pdx}}=(ye^{\int{Pdx}})'$$

$$ye^{\int{Pdx}}=\int{Q(x)e^{\int{Pdx}}}dx+C$$

$$y=e^{-\int{Pdx}}(\int{Q(x)e^{\int{Pdx}}}dx+C)$$

速度场

流量与平均速度

$$dQ=\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}dA$$

$$Q=\int \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}dA$$

$$Q=VA$$

流动维度

• 三维流动：速度场必须表示成 3 个空间坐标（以及时间）的函数
• 二维流动：速度场可以简化为 2 个分量，且仅为 2 个坐标的函数
• 一维流动：速度场可以简化为 1 个分量，且该分量仅为 1 个坐标的函数

定常与不定常流动

• 定常流动：流动参数不随时间变化
• 不定常流动：流动参数随时间变化

流体运动的几何描述

迹线

某一流体质点的运动轨迹。代表了拉格朗日观点。

给定了速度场的分布，即可求出迹线方程（一般只要求二维）：

$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}=dt$$

可以写成参数方程的形式，代入初始条件即可确定方程：

$$\begin{cases} x=\int udt \\ y=\int vdt \\ z=\int wdt \end{cases}$$

流线

某一瞬间，任意一点的切线方向为速度矢量方向的假想曲线。

给定了速度场的分布，即可求出流线方程（一般只要求二维）：

$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}$$

流线为瞬时线。对于不定常流场，每个时刻的流线都不同；但在定常流场中，流线与迹线重合。

无论是否为定常流动，流线均不相交。（奇点、驻点除外）

脉线

某一瞬间，由之前的某一时间段内，相继通过某一固定点的流体质点所连成的线。

流体线

某一瞬间标记的首尾相接的流体质点的连线。

流管、流束与总流

暂时略。

流体质点的随体导数

加速度场

$$\mathbf{a}(x,y,z,t)=\frac{ \partial \mathbf{v} }{ \partial t } + u\frac{ \partial \mathbf{v} }{ \partial x } +v\frac{ \partial \mathbf{v} }{ \partial y } +w\frac{ \partial \mathbf{v} }{ \partial z }$$

该式有明显的物理意义：

• 第一项为当地加速度，是由某一固定点处，速度随时间变化产生的加速度
• 后面的项统称为迁移加速度，是由于速度的空间分布不均匀引起的

一维流动中，可以简化为：

$$a_{s}=\frac{ \partial v }{ \partial t } + v\frac{ \partial v }{ \partial s }$$

质点导数

引入场论符号（或称为随体导数符号）

$$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla$$

后半部分可以简单理解为：

$$\mathbf{v}\cdot \nabla=(u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k})\cdot\left( \frac{ \partial}{ \partial x }\hat{i}+\frac{ \partial }{ \partial y }\hat{j}+\frac{ \partial }{ \partial x }\hat{k} \right)=u\frac{ \partial }{ \partial x } +v\frac{ \partial }{ \partial y } +w\frac{ \partial}{ \partial z }$$

可以将物理量 $B(x,y,z,t)$（可以是标量或矢量）的随体导数定义为：

$$\frac{DB}{Dt}=\frac{ \partial B }{ \partial t } + (\mathbf{v}\cdot \nabla)B$$

由此，加速度场的公式可以简写为：

$$\mathbf{a}=\frac{ \partial \mathbf{v} }{ \partial t } + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}$$

一点邻域内相对运动分析

亥姆霍兹速度分解定理（二维）

$$\begin{cases} u(M) = u(M_0) + \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial x} dx\\ v(M) = v(M_0) + \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial x} dx \end{cases}$$

流体元的变形

线变形速率

• 一维：线膨胀率
• 二维：面积膨胀率
• 三维：体积膨胀率

线变形速率其物理意义也很好理解，如图：

总而言之，直接用速度散度即可计算：

$$\nabla \cdot \mathbf{v}$$

各个方向上的线应变率为：

$$\begin{cases} \varepsilon_{xx} = \frac{ \partial u }{ \partial x } \\ \varepsilon_{yy} = \frac{ \partial v }{ \partial x } \\ \varepsilon_{zz} = \frac{ \partial w }{ \partial x } \end{cases}$$

角变形速率

$$\begin{cases} \varepsilon_{yz} = \varepsilon_{x} = \frac{1}{2}\left( \frac{ \partial w }{ \partial y } + \frac{ \partial v }{ \partial z } \right) \\ \varepsilon_{xz} = \varepsilon_{y} = \frac{1}{2}\left( \frac{ \partial w }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial z } \right) \\ \varepsilon_{xy} = \varepsilon_{z} = \frac{1}{2}\left( \frac{ \partial v }{ \partial x } + \frac{ \partial u }{ \partial y } \right) \end{cases}$$

流体元的旋转

$$\mathbf{\omega}=\frac{1}{2}\nabla \times \mathbf{v}$$

亥姆霍兹速度分解定理（三维）

几种流动分类

层流与湍流

在管道流动中阻力与速度的关系（两种流动状态）：

• 低速时阻力与速度成正比，称为层流
• 高速时阻力与速度的平方成正比，称为湍流

区分这两种状态的参数为雷诺数（无量纲参数）：

$$Re=\frac{\rho Vd}{\mu}$$

d 为圆管直径，V 为平均流速。

内流与外流

• 外流：流体围绕固体的流动
• 内流：流体在固体包围形成的空间内流动。

有旋流与无旋流

根据涡量 $\Omega$ 来判断：

$$\mathbf{\Omega}=\nabla \times \mathbf{v}$$

注意：做曲线运动的流体质点不一定是有旋流，做直线运动的流体质点不一定是无旋流。比如无限大水平放置的平板上的层流就是有旋流。判断依据是流体质点是否有自转，应当根据涡量判断。

B3 微分形式的基本方程

微分形式的质量守恒方程

取边长为 $dx,dy,dz$ 的长方体体积元为控制体，则其体积为 $d\tau=dxdydz$
沿 x 方向，$dt$ 时间内流入的流体质量为 $\rho u \cdot dtdydz$
流出质量为 $\left( \rho u+\frac{ \partial (\rho u) }{ \partial x } dx\right) \cdot dtdydz$
单位时间内净流出 $\frac{ \partial (\rho u) }{ \partial x }d\tau$，这里我们假设流体的净流出量>0
那么，单位时间内总的净流出质量为 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) d\tau$
由于有净流出，则密度变小，即 $\frac{d\rho}{dt}<0$
因此，该控制体内流体质量减小了 $-\frac{d\rho}{dt} d\tau$
根据质量守恒，控制体的净流出质量=控制体减少的质量，可得：

$$\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=-\frac{d\rho}{dt}$$

由散度公式 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=\mathbf{v} \cdot \nabla \rho + \rho \nabla \cdot \mathbf{v}$ 和随体导数 $\frac{D}{Dt}$ 的定义，可得：

$$\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v}=0$$

稍加改写，其物理意义会更明确：

$$\nabla \cdot \mathbf{v}=-\frac{1}{\rho} \frac{D\rho}{Dt}$$

流场中的一点邻域内，体积相对膨胀率=密度相对减少率

不可压缩流体

$$\nabla \cdot \mathbf{v}=0$$

可压缩流体的定常流动

$$\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=0$$

作用在流体元上的力

• 长程力：可以穿越空间作用在流体元上，如引力、电磁力、惯性力
  • 作用在流体元上的长程力大小与流体元的体积成正比，因此又称体积力
  • 由于重力、惯性力与质量成正比，有时又称质量力。
• 短程力：相邻两层流体元通过分子作用产生的力，如黏性切应力
  • 在分子间距的量级上显著，随着距离增大而急剧减小
  • 仅取决于流体元的表面状况，因此通常称为表面力
  • 注意：表面张力好像不是表面力（可能是因为表面张力是两种液体之间，或者液体和固体之间的接触层才会存在）

注意：浮力由压强差引起，为表面力

体积力与表面力

体积力

$$\mathbf{F_{b}}=\int \rho \mathbf{f}d\tau$$

表面力

$$\mathbf{p_{n}}=\frac{d\mathbf{F_{s}}}{dA}$$

流体应力场

运动流体中一点的应力状态

对于一点邻域来说，在 x,y,z 三个方向上的压强和切应力的分量是确定的；问题是：如何描述该点附近任意方向的面上的应力状态？

在该点附近取如图所示的微分六面体：

第一个下标代表压力的作用面（作用面的法向量方向），第二个下标代表压力指向的方向

考察作用在 x 方向上的正压力：

$$f_{x}=p_{xx}S_{x}+\tau_{yx}S_{y}+\tau_{zx}S_{z}=p_{nx}S_{n}$$

同除以 $S_{n}$ 可得：

$$p_{nx}=n_{x}p_{xx}+n_{y}\tau_{yx}+n_{z}\tau_{zx} \\$$

继而可得：

$$\begin{cases} p_{nx}=n_{x}p_{xx}+n_{y}\tau_{yx}+n_{z}\tau_{zx} \\ p_{ny}=n_{x}\tau_{xy}+n_{y}p_{yy}+n_{z}\tau_{zy} \\ p_{nz}=n_{x}p_{xz}+n_{y}\tau_{yz}+n_{z}p_{zz} \end{cases}$$

由此可定义应力矩阵（二阶应力张量）：

$$\mathbf{P}= \begin{pmatrix} p_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & p_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & p_{zz} \end{pmatrix}$$

这里的面元的外法矢 $\mathbf{n}=(n_{x},n_{y},n_{z})$ 应该是单位向量

$$\mathbf{p_{n}}=\mathbf{n}\cdot \mathbf{P}=(n_{x},n_{y},n_{z}) \begin{pmatrix} p_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & p_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & p_{zz} \end{pmatrix}$$

可以简单理解为：由于是应力是压强，所以计算任意面上的总应力时，需要对面积进行投影

由此，给定了某一点的应力张量，则可以求出任意面上的应力状态

注意：可以证明，切应力分量两两相等

$$\tau_{xy}=\tau_{yx},\quad \tau_{xz}=\tau_{zx},\quad \tau_{yz}=\tau_{zy}$$

因此，应力矩阵是对称矩阵。

静止流体中的应力状态

$$\mathbf{P}= \begin{pmatrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \end{pmatrix}$$

静止流体中，作用在一点各个方向的压应力均相等，可用一个标量，即静压强 p 来表示。

应力矩阵的常用表达式

$$\mathbf{P}= \begin{pmatrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \tau_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \tau_{zz} \end{pmatrix}$$

第一项为压强项；第二项为“偏应力项”或“黏性项”，纯粹由流体变形而产生，在静止时消失。

线性剪切流的应力状态：在不可压缩牛顿黏性流体的平面流动中，一点的附加法向应力与线应变率呈线性关系：

$$\tau_{xx}=2\mu \frac{ \partial u }{ \partial x },\quad \tau_{yy}=2\mu \frac{ \partial v }{ \partial y }$$

切应力为：

$$\tau_{xy}=\tau_{yx}=\mu (\frac{ \partial v }{ \partial x }+\frac{ \partial u }{ \partial y })$$

微分形式的动量方程

这部分讲得很快，稍微了解即可。

N-S 方程

对于黏度为常数的不可压缩牛顿流体时，有：

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu \nabla^2 \mathbf{v}$$

质量 × 加速度 (惯性力) = 体积力 + 压差力 (压强梯度)+ 黏性力 (黏性应力散度)

注意：N-S 方程在层流和湍流中均适用。

对于无黏性流体，N-S 方程退化为欧拉方程：

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\rho \mathbf{f}-\nabla p$$

边界条件与初始条件

边界条件

固体壁面

对于不可压缩流动，根据是否有黏性给出固体壁面上的边界条件。

• 黏性流体：满足壁面不滑移条件 $v=v_{w}$
• 无黏性流体：满足无穿透条件 $v_{n}=v_{nw}$

特殊的流体边界

• 内流流场：通常给出出入口截面的速度、压强和温度条件
• 外流流场：必须给出无穷远处的速度和压强条件

两种流体交界面

常见界面：气液界面、不相溶的液液界面

界面两侧的黏性流体在界面上的速度、压强、切应力和温度应当连续。

初始条件

通常给出的初始条件时流体从静止开始的值，此时的速度、压强等参数均为常数。

当流场是定常时，无需初始条件。

特殊情况下 N-S 方程的解析解

典型案例：平行平板间的层流流动（平板泊肃叶流动）

压强场

静止流体中的压强分布

典型例子（密闭容器）：

压强计示方式

• 绝对压强 $p_{ab}$：以完全真空为基准
• 表压强 $p_{g}$：以当地大气压 $p_{a}$ 为基准
• 真空压强 $p_{v}$：当表压强<0（即， $p_{ab}<p_{a}$ ）时，低于大气压部分的绝对值（因此 $p_{v}>0$ ）

$$\begin{cases} p_{g}=p_{ab}-p_{a} \\ p_{v}=p_{a}-p_{ab} \quad (p_{ab}<p_{a}) \end{cases}$$

若未加指明，流体静压强均以表压强表示。

B4 积分形式的基本方程

流体系统的随体导数

概念：

• 系统 system：确定的物质的集合（拉格朗日观点）
• 控制体 control volume：确定的空间的集合（欧拉观点）
• 控制面 control surface：控制体的表面

雷诺输运公式：

$$\frac{DN_{sys}}{Dt}=\frac{ \partial }{ \partial t }\int_{CV}\eta d\tau + \int_{CS}\eta (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA$$

积分形式的连续性方程

流体质量的空间分布量为密度：$\eta=\rho(r,t)$，系统质量为：

$$m_{sys}=\int_{sys}\rho d\tau$$

根据质量守恒，有：

$$\frac{dm_{sys}}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{sys}\rho d\tau=0$$

利用输运公式可得：

$$\frac{ \partial }{ \partial t }\int_{CV}\rho d\tau + \int_{CS}\rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA = 0$$

控制体内的流体质量随时间的减少率 = 通过控制面，净流出控制体的质量流量

可以与微分形式的连续性方程作对比：

$$\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v}=0$$

固定的控制体

由于 CV 固定，可以将偏导数移到积分号内；且直接使用绝对速度即可：

$$\int_{CV}\frac{ \partial \rho}{ \partial t } d\tau + \int_{CS}\rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA = 0$$

由高斯公式：

$$\int_{CS}\rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA = \int_{CV}\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) d\tau$$

带入得

$$\int_{CV} \left[\frac{ \partial \rho}{ \partial t } d\tau + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) \right] d\tau = 0$$

对于不可压缩流体，体积流量守恒
对于任意流体，质量流量守恒

运动的控制体

由于连续性方程不涉及惯性力，因此无论是惯性系还是非惯性系，将绝对速度改为相对速度即可：

$$\frac{ \partial }{ \partial t }\int_{CV}\rho d\tau + \int_{CS}\rho (\mathbf{v_{r}} \cdot \mathbf{n})dA = 0$$

伯努利方程及其应用

沿流线的伯努利方程

$$\int \frac{ \partial v }{ \partial t } ds + \frac{v^2}{2} + gz + \int \frac{dp}{\rho} = const$$

对于不可压缩流体的定常流动，上式可简化为：

$$\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = const$$

动能 + 位置势能 + 压强势能=机械能 (沿流线守恒)
注意：均为能量密度

伯努利方程的限制条件较多：

• 无黏性流体
• 不可压缩流体
• 定常流动
• 沿流线

应用：

• 毕托管测速
• 小孔出流（托里拆利公式及缩颈效应）
• 自由射流问题
• 三角堰流量计（出流截面上，同一高度上的流体，均视为从顶部而来的自由射流）

沿总流的伯努利方程

沿流线法线的速度与压强关系

$$g\frac{dz}{dn} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial p }{ \partial n } = \frac{v^2}{R}$$

若忽略重力作用，则有

$$\frac{ \partial p }{ \partial n } = \frac{\rho v^2}{R}>0$$

这说明弯曲流线的外侧压强总是大于内侧

沿着法线积分则有

$$-\int \frac{v^2}{R}dn + gz + \frac{p}{\rho} = const$$

当流动为直线时，$R \to \infty$，上式化为：

$$gz + \frac{p}{\rho} = const$$

或者改写为：

$$p=-\rho gz + c$$

定义：将流线相互平行或接近平行直线的流束称为缓变流（反之则为急变流）

上式说明：缓变流截面上，压强分布符合静止流体中的压强分布规律

沿总流的伯努利方程

$$\frac{\alpha V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = const$$

$$\frac{\alpha_{1} V^2}{2} + gz_{1} + \frac{p_{1}}{\rho} = \frac{\alpha_{2} V^2}{2} + gz_{2} + \frac{p_{2}}{\rho}$$

伯努利方程的水力学意义

不是重点。

沿流线：

$$\frac{v^2}{2g} + z + \frac{p}{\rho g} = const$$

沿总流：

$$\frac{\alpha V^2}{2g} + z + \frac{p}{\rho g} = H = const$$

速度水头 + 位置水头 + 压强水头=总水头

积分形式的动量方程及其应用

取 $\eta=\rho \mathbf{v}$，流体系统动量为：

$$\mathbf{p_{sys}}=\int_{sys}\rho \mathbf{v}d\tau$$

根据牛顿第二定律，对流体系统有：

$$\frac{d\mathbf{p_{sys}}}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{sys}\rho \mathbf{v} d\tau=\sum \mathbf{F}$$

固定的控制体

流体系统的动量在控制体上的随体导数（流体系统与控制体正好重合）：

$$\frac{d\mathbf{p_{sys}}}{dt}=\frac{D}{Dt}\int_{sys}\rho \mathbf{v} d\tau = \frac{ \partial }{ \partial t } \int_{CV}\rho \mathbf{v}d\tau + \int_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA$$

此时作用在流体上的合外力与作用于控制体上的合外力也正好重合：

$$\frac{ \partial }{ \partial t } \int_{CV}\rho \mathbf{v}d\tau + \int_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA = \sum \mathbf{F}$$

$$\frac{ \partial }{ \partial t } \int_{CV}\rho \mathbf{v}d\tau + \int_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA = \int_{CV}\rho \mathbf{f_{b}}d\tau + \int_{CS}\mathbf{p_{n}}dA$$

控制体内流体所受合外力=控制体所受合外力=流体动量随体导数

当流动为定常时：

$$\int_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA = \sum \mathbf{F}$$

可以简写为：

$$\int_{CS}\rho \mathbf{v} dQ = \sum F$$

沿流管的定常流动

$$\int_{CS}\rho \mathbf{v} dQ = \int_{A_{2}}\mathbf{v} d\dot{m} - \int_{A_{1}}\mathbf{v} d\dot{m}= \beta_{2}\mathbf{V_{2}}\dot{m_{2}}-\beta_{1}\mathbf{V_{1}}\dot{m_{1}}$$

取平均速度来简化计算，$\beta$ 为动量修正因子，对于湍流分布，$\beta=1$

若不做说明，可认为 $\beta=1$

质量流量一定守恒，有 $\dot{m}=\dot{m_{1}}=\dot{m_{2}}$，于是可化简为

$$\dot{m}(\mathbf{V_{out}} - \mathbf{V_{out}}) = \sum \mathbf{F}$$

净流出流管的动量流量=流体作用于流管上的合外力

具有多个一维出入口的控制体上的定常流动

$$\sum{(\dot{m_{i}}\mathbf{V}_{i})_{out}} - \sum{(\dot{m_{i}}\mathbf{V}_{i})_{in}} = \sum \mathbf{F}$$

关于控制体的控制面上压强的讨论：

• 对于任意形状的封闭控制面，只需要用表压强即可
• 流场中的某一点的压力方向是任意的。当表压强>0 时，压力方向垂直与控制面向内。

运动的控制体

使用相对速度即可：

$$\sum{(\dot{m_{r}}\mathbf{V}_{r})_{out}} - \sum{(\dot{m_{r}}\mathbf{V}_{r})_{in}} = \sum \mathbf{F}$$

B5 量纲分析与相似性原理

常见量纲

常用量	量纲	量纲
速度、加速度	$[V] = LT^{-1}$	$[g] = LT^{-2}$
流量、质量流量	$[Q] = L^3T^{-1}$	$[\dot{m}] = MT^{-1}$
密度、重度	$[\rho] = ML^{-3}$	$[\rho g] = ML^{-2}T^{-2}$
力、力矩	$[F] = MLT^{-2}$	$[L] = ML^2T^{-2}$
压强、应力、弹性模量	$[p] = [\tau] = [K] = ML^{-1}T^{-2}$
动力黏度、运动黏度	$[\mu] = ML^{-1}T^{-1}$	$[\nu] = L^2T^{-1}$
表面张力系数	$[\sigma] = MT^{-2}$

无量纲参数

参数	公式	物理意义	名称
Re	$\dfrac{\rho Vl}{\mu}$	$\dfrac{惯性力}{黏性力}$	雷诺数
Fr	$\dfrac{V}{\sqrt{gl}}$	$Fr^2=\dfrac{惯性力}{重力}$	弗劳德数
Eu	$\dfrac{p_{0}}{\rho V^2}$	$\dfrac{压力}{惯性力}$	欧拉数
Sr	$\dfrac{\omega l}{V}$	$\dfrac{不定常惯性力}{迁移惯性力}$	斯特劳哈尔数
Ma	$\dfrac{V}{c}$	$Ma^2=\dfrac{惯性力}{压缩力}$	马赫数
We	$\dfrac{\rho V^2 l}{\sigma}$	$\dfrac{惯性力}{表面张力}$	韦伯数
Ne	$\dfrac{F}{\rho V^2 l^2}$	$\dfrac{外力}{惯性力}$	牛顿数