工程流体力学笔记(期末)

工程流体力学笔记(期末部分)

C1 流体的平衡

流体的平衡微分方程

欧拉平衡方程

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu \nabla^2 \mathbf{v}$$

显然，平衡时有：

$$\rho \mathbf{f}-\nabla p=0$$

等压面

$$dp=\nabla p \cdot d\mathrm{r}=\rho \mathbf{f} \cdot d\mathrm{r}=0$$

于是：

$$\mathbf{f} \cdot d\mathrm{r}=0$$

可知，体积力与等压面处处垂直。

流体平衡的条件

$$dp=\rho \mathbf{f} \cdot d\mathrm{r}$$

均质流体与正压流体

匀质流体：由于 $\rho$ 为常数，有：

$$\mathbf{f} \cdot d\mathrm{r} = d\left( \frac{p}{\rho} \right)$$

也就是说 $\mathbf{f} \cdot d\mathrm{r}$ 可以写成全微分形式，等价于 $\mathbf{f}$ 为有势力（保守力）

正压流体：流体密度仅是压强的函数，即 $\rho=\rho(p)$

可以构造函数 $P=\int \dfrac{dp}{\rho}$，则：

$$\mathbf{f} \cdot d\mathrm{r}=\frac{dp}{\rho}=dP$$

同样等价于： $\mathbf{f} \cdot d\mathrm{r}$ 可以写成全微分形式

斜压流体

非正压流体即为斜压流体，其密度还与温度有关，典型的例子是理想气体：

$$\rho=\frac{p\mu}{RT}$$

显然气体在不均匀的温度场中会发生对流，而无法保持平衡。

均质液体的相对平衡

液体无相对运动，流体像刚体一样，可以选取非惯性参考系，将惯性力合并入体积力中

$$\rho (\mathbf{f}-\mathbf{a})-\nabla p=0$$

液体对平壁的总压力（偏心矩）

注意：所有的公式推导都基于如图坐标系（原点位于自由液面处，y 轴沿平壁）

应用公式时坐标系选取必须保持一致。

大小：

$$F=\rho gh_{C}A=p_{C}A$$

对于压力的等效作用点，有两种方法：积分法和几何法。

积分法

$$Fy_{D}=\int_{A}ydF=\rho g\sin{\theta}\int_{A}y^2dA$$

$$y_{D}=\frac{\int_{A}y^2dA}{y_{C}A}$$

定义惯性矩（A 对 Ox 轴）：

$$I_{x}=\int_{A}y^2dA$$

由平行轴定理：

$$I_{x}=y_{C}^2A+I_{\xi}$$

其中 $I_{\xi}$ 为 A 对 $C\xi$ 轴的惯性矩（质心轴）

引入回转半径 $r_{\xi}$，满足：

$$I_{\xi}=r_{\xi}^2A$$

引入纵向偏心矩：

$$y_{D}=y_{C}+e$$

$$e=\frac{r_{\xi}^2}{y_{C}}$$

考试需要的惯性矩与回转半径：

几何法

画出压强分布再分析，一般对于两边浸在两种液体中的情况会有奇效。

液体对曲壁的总压力（压力体）

压力体

$$F_{x}=\rho gh_{xc}A=p_{xc}A$$

$$F_{y}=\rho g\tau_{p}$$

浮力与稳定性

浮力（buoyancy）

$$F_{b}=\rho gV_{排}$$

平衡问题：

• 稳定平衡：平衡时重心位于浮心下方
• 不稳定平衡：平衡时重心位于浮心上方
• 随遇平衡：平衡时重心与浮心重合

C2 不可压缩无黏性流体平面势流

欧拉运动方程与伯努利积分

N-S 方程

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu \nabla^2 \mathbf{v}$$

对无黏性流体：

$$\rho \left[ \frac{ \partial \mathbf{v} }{ \partial t } + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v} \right] = \rho \mathbf{f}-\nabla p$$

当地加速度导致方程求解仍然十分困难。考虑使用场论公式替换：

$$(\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}=\nabla\left( \frac{v^2}{2} \right)+(\nabla \times \mathbf{v}) \times \mathbf{v}$$

可变形为（兰姆 - 葛罗米柯方程）：

$$\rho \left[ \frac{ \partial \mathbf{v} }{ \partial t } + \nabla\left( \frac{v^2}{2} \right)+(\nabla \times \mathbf{v}) \times \mathbf{v} \right] = \rho \mathbf{f}-\nabla p$$

对于无旋的定常流动，假设体力力仅为重力，则有：

$$\nabla\left( \frac{v^2}{2} \right)= \mathbf{g}-\frac{1}{\rho}\nabla p$$

两边点乘 $dr$ 则有：

$$d\left( \frac{v^2}{2} \right)= gdz-\frac{1}{\rho}dp$$

积分可得结果：

$$\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = const$$

称为伯努利 - 拉格朗日积分，对于全流场成立

速度势与流函数

速度势函数

考察 z 方向的旋度分量

$$\Omega_{z}=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$$

无旋场满足 $\Omega_{z}=0$，由此导出速度势函数：

$$\mathbf{v}=\nabla \Phi\implies \begin{cases} u=\dfrac{ \partial \Phi }{ \partial x } \\ v=\dfrac{ \partial \Phi }{ \partial y } \end{cases}$$

柱坐标/极坐标形式：

$$\Omega_{z}=\frac{1}{r}\left[ \frac{\partial (rv_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial v_{r}}{\partial \theta} \right]$$

$$\begin{cases} v_{r}=\dfrac{ \partial \Phi }{ \partial r } \\ v_{\theta}=\dfrac{1}{r}\dfrac{ \partial \Phi }{ \partial \theta } \end{cases}$$

流函数

不可压缩流体满足：

$$\nabla \cdot \mathbf{v}=0$$

由此导出流函数（直角坐标）：

$$\begin{cases} u=\dfrac{ \partial \Psi }{ \partial y } \\ v=-\dfrac{ \partial \Psi }{ \partial x } \end{cases}$$

流函数等值线显然就是流线

柱坐标/极坐标形式：

$$\nabla \cdot \mathbf{v}=\frac{ \partial v_{r} }{ \partial r } +\frac{1}{r}\frac{ \partial v_{\theta} }{ \partial \theta } + \frac{v_{r}}{r} = 0$$

$$\begin{cases} v_{r}=\dfrac{1}{r}\dfrac{ \partial \Psi }{ \partial \theta } \\ v_{\theta}=-\dfrac{ \partial \Psi }{ \partial r } \end{cases}$$

两点的流函数之差为通过两点连线的流量，与连线形状无关

总结

	势函数	流函数
导出条件	无旋	不可压缩 （速度散度=0）
补充定义	$\mathbf{v}=\nabla \Phi$	使复势为解析函数 $W(z)=\Phi+i\Psi$
添加条件以满足 拉普拉斯方程	不可压缩	无旋
直角坐标 $x$	$u=\Phi_{x}$	$u=\Psi_{y}$
直角坐标 $y$	$v=\Phi_{y}$	$v=-\Psi_{x}$
极坐标 $r$	$v_{r}=\Phi_{r}$	$v_{r}=\frac{1}{r}\Psi_{\theta}$
极坐标 $\theta$	$v_{\theta}=\frac{1}{r}\Phi_{\theta}$	$v_{\theta}=-\Psi_{r}$
物理意义	与速度垂直	等流线即为流线； 两点的流函数差值为流量

两者关系的本质：柯西黎曼条件

直角坐标	极坐标
$\Phi_{x}=\Psi_{y}$	$\Phi_{r}=\frac{1}{r}\Psi_{\theta}$
$\Phi_{y}=-\Psi_{x}$	$\frac{1}{r}\Phi_{\theta}=-\Psi_{r}$

平面势流与基本解

对于平面不可压缩势流展开讨论。

由于 $\nabla^2 \Phi=\nabla^2 \Psi=0$，满足拉普拉斯方程，可以视为各个基本解的叠加，速度也可叠加。

注意：压强场不可线性叠加

均流

设均流速度与 x 轴成 $\alpha$ 角，则：

$$\begin{cases} u=U \cos{\alpha} \\ v=U \sin{\alpha} \end{cases}$$

$$\begin{cases} \Phi=U (x \cos{\alpha} + y\sin{\alpha}) \\ \Psi=U (y \cos{\alpha} - x\sin{\alpha}) \end{cases}$$

沿 x 轴时，可改写至极坐标系下：

$$\begin{cases} \Phi=Ur\cos{\theta} \\ \Psi=Ur\sin{\theta} \end{cases}$$

点源与点汇

$$\begin{cases} v_{r}=\dfrac{Q}{2\pi r} \\ v_{\theta}=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \Phi=\dfrac{Q}{2\pi}\ln{r} \\ \Psi=\dfrac{Q}{2\pi}\theta \end{cases}$$

点涡及环量

定义环量 $\Gamma$ （逆时针为正）：

$$\Gamma=\oint_{L} \mathrm{v}\cdot d\mathrm{r}$$

对于点涡，显然有：

$$\Gamma=2\pi r v_{\theta}$$

设环量逆时针为正

$$\begin{cases} v_{r}=0 \\ v_{\theta}=\dfrac{\Gamma}{2\pi r} \end{cases}$$

$$\begin{cases} \Phi=\dfrac{\Gamma}{2\pi}\theta \\ \Psi=-\dfrac{\Gamma}{2\pi}\ln{r} \\ \end{cases}$$

偶极子（重点）

定义偶极矩：

$$M=Q\delta$$

即：点源/点汇的流量乘上两者距离，方向由点汇 ->点源

$$\begin{cases} \Phi=\dfrac{M}{2\pi} \dfrac{\cos{\theta}}{r} \\ \Psi=-\dfrac{M}{2\pi}\dfrac{\sin{\theta}}{r} \\ \end{cases}$$

$$\implies \begin{cases} v_{r}=-\dfrac{M}{2\pi} \dfrac{\cos{\theta}}{r^2} \\ v_{\theta}=-\dfrac{M}{2\pi} \dfrac{\sin{\theta}}{r^2} \end{cases}$$

兰金卵体绕流的直观理解（有环量圆柱绕流也类似）：

• 点源靠近来流，将前方来流推开
• 点汇远离来流，吸引后方的流体推开
• 两者共同作用出卵体的形状

总结

类型	均流	点源与点汇	点涡	偶极子 （重要）	圆柱绕流
速度 1	$u = U \cos{\alpha}$	$v_{r} = \frac{Q}{2\pi r}$	$v_{r} = 0$	$v_{r} = -\dfrac{M}{2\pi} \dfrac{\cos{\theta}}{r^2}$
速度 2	$v = U \sin{\alpha}$	$v_{\theta} = 0$	$v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi r}$	$v_{\theta} = -\dfrac{M}{2\pi} \dfrac{\sin{\theta}}{r^2}$
势函数 $\Phi$	$U(x \cos{\alpha} + y \sin{\alpha})$ $Ur\cos{\theta}$	$\dfrac{Q}{2\pi} \ln{r}$	$\dfrac{\Gamma}{2\pi} \theta$	$\dfrac{M}{2\pi} \dfrac{\cos{\theta}}{r}$	$U\left(1+\dfrac{a^2}{r^2}\right) r\cos{\theta}$
流函数 $\Psi$	$U(y \cos{\alpha} - x \sin{\alpha})$ $Ur\sin{\theta}$	$\dfrac{Q}{2\pi} \theta$	$-\dfrac{\Gamma}{2\pi} \ln{r}$	$-\dfrac{M}{2\pi} \dfrac{\sin{\theta}}{r}$	$U \left(1-\dfrac{a^2}{r^2}\right) r\sin{\theta}$
补充		$\Gamma = 2\pi r v_{\theta}$		$M = Q \delta$

绕圆柱的平面势流

无环量圆柱绕流

无环量圆柱绕流=均流 + 偶极子（偶极矩需要取适当值以符合边界条件）

$$\Psi=\left(U-\frac{M}{2\pi r^2}\right) r\sin{\theta}$$

在圆柱壁面上，流函数=常数，与 $\theta$ 无关，所以只能：

$$U-\frac{M}{2\pi a^2}=0$$

$$\implies \begin{cases} \Phi=U \left(1+\dfrac{a^2}{r^2}\right) r\cos{\theta} \\ \Psi=U \left(1-\dfrac{a^2}{r^2}\right) r\sin{\theta} \\ \end{cases}$$

有环量圆柱绕流（重点）

再叠加一顺时针点涡（势函数和流函数在叠加时要加负号）：

$$\begin{cases} \Phi=U \left(1+\dfrac{a^2}{r^2}\right) r\cos{\theta}-\dfrac{\Gamma}{2\pi} \theta \\ \Psi=U \left(1-\dfrac{a^2}{r^2}\right) r\sin{\theta}+\dfrac{\Gamma}{2\pi} \ln{r} \\ \end{cases}$$

$$v_{\theta}=\frac{1}{r}\Phi_{\theta}=-U \left(1+\dfrac{a^2}{r^2}\right) r\sin{\theta}-\dfrac{\Gamma}{2\pi}$$

圆柱表面上，有：

$$v_{\theta}=-2Ua\sin{\theta}-\dfrac{\Gamma}{2\pi}$$

考察驻点位置。前驻点 A 的辐角 $\theta_{cr}$ 称为驻点临界角，满足：

$$\Gamma=-4\pi aU\sin{\theta_{cr}}$$

注意：当环量过大时，驻点会脱离圆柱。

由速度分布可解出压强分布（推导略），可得升力大小：

$$\mathbf{F}=\rho \vec{U} \times \vec{\Gamma}$$

茹科夫斯基升力定律与库塔条件应该不考吧（

C2 补充-曲线坐标系中的矢量分析

此部分参考格里菲斯的《电动力学导论》

位移矢量及体积微元

其中 $f,g,h$ 是位置的函数 (比如： $f=f(u,v,w)$，该函数显然由坐标系本身的特征决定)，包含了坐标系全部的信息

$$d\mathbf{l} = f du \mathbf{\hat{u}} + g dv \mathbf{\hat{v}} + h dw \mathbf{\hat{w}}$$

以球坐标系为例：

三维球坐标系中：

$$d\mathbf{l} = dr \mathbf{\hat{r}} + r\sin{\varphi} d\theta \mathbf{\hat{\theta}} + rd\varphi \mathbf{\hat{\varphi}}$$

$$\begin{cases} f=1 \\ g=r\sin{\varphi} \\ h=r \end{cases}$$

由此，也可导出球坐标系中的体积微元表达式

极坐标系，可视为 $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$ （如果从球坐标导出），于是公式可退化为:

$$d\mathbf{l} = dr \mathbf{\hat{r}} + rd\theta \mathbf{\hat{\theta}}$$

梯度

标量函数 $t(u,v,w)$ 移动 $(du,dv,dw)$ 后的微小变化：

$$dt = \frac{\partial t}{\partial u} du + \frac{\partial t}{\partial v} dv + \frac{\partial t}{\partial w} dw$$

$$d\mathbf{l} = f du \mathbf{\hat{u}} + g dv \mathbf{\hat{v}} + h dw \mathbf{\hat{w}}$$

梯度的性质：

$$dt=\nabla t \cdot d\mathbf{l}$$

于是可得梯度表达式：

$$\nabla t = \frac{1}{f} \frac{\partial t}{\partial u} \hat{u} + \frac{1}{g} \frac{\partial t}{\partial v} \hat{v} + \frac{1}{h} \frac{\partial t}{\partial w} \hat{w}$$

散度

$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{fgh} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (ghA_u) + \frac{\partial}{\partial v} (fhA_v) + \frac{\partial}{\partial w} (fgA_w) \right]$$

对于二维的情况，无 $A_w$ 分量，且 $h$ 与位置无关：

$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{fgh} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (ghA_u) + \frac{\partial}{\partial v} (fhA_v)\right]$$

$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{fg} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (gA_u) + \frac{\partial}{\partial v} (fA_v)\right]$$

$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} (rA_u) + \frac{\partial}{\partial \theta} (A_v)\right]$$

$$\nabla \cdot \mathbf{v}=\frac{ \partial v_{r} }{ \partial r } +\frac{1}{r}\frac{ \partial v_{\theta} }{ \partial \theta } + \frac{v_{r}}{r}$$

旋度

$$\nabla \times \mathbf{A} = \frac{1}{gh} \left[ \frac{\partial}{\partial v} (hA_w) - \frac{\partial}{\partial w} (gA_v) \right] \hat{u} + \frac{1}{fh} \left[ \frac{\partial}{\partial w} (fA_u) - \frac{\partial}{\partial u} (hA_w) \right] \hat{v} + \frac{1}{fg} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (gA_v) - \frac{\partial}{\partial v} (fA_u) \right] \hat{w}$$

$$\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$

可以写成这样的形式：

$$\nabla \times \mathbf{A} = \frac{1}{fgh} \begin{vmatrix} f\hat{u} & g\hat{v} & h\hat{w} \\ \dfrac{\partial}{\partial u} & \dfrac{\partial}{\partial v} & \dfrac{\partial}{\partial w} \\ fA_u & gA_v & hA_w \end{vmatrix}$$

二维情况：

$$\nabla \times \mathbf{A} = \frac{1}{fg} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (gA_v) - \frac{\partial}{\partial v} (fA_u) \right] \hat{w}$$

$$\nabla \times \mathbf{A} = \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial u} (rA_v) - \frac{\partial}{\partial v} (A_u) \right] \hat{w}$$

$$\Omega_{z}=\frac{1}{r}\left[ \frac{\partial (rv_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial v_{r}}{\partial \theta} \right]$$

拉普拉斯算子

$$\nabla^2 t = \frac{1}{fgh} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{gh}{f} \frac{\partial t}{\partial u} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{fh}{g} \frac{\partial t}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial w} \left( \frac{fg}{h} \frac{\partial t}{\partial w} \right) \right]$$

C3 不可压缩黏性流体内流

先讲的 C4（边界层）再讲的这一章

平行平板间层流流动

固定平板：

速度分布（求 N-S 方程解析解得到）：

$$u=\frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dx} \left( y-\frac{b}{2} \right)^2-\frac{b^2}{8\mu} \frac{dp}{dx}$$

一般库埃特流（上板运动速度为 $U$）：

$$u=\frac{1}{2\mu} \frac{dp}{dx} (y^2-by)+\frac{U}{b}y$$

圆管层流流动

定义比压降 $G$ ：

$$G=\frac{\Delta p}{l}=-\frac{dp}{dx}$$

为求速度分布，取圆柱形控制体得（求 N-S 方程解析解亦可）：

$$-\frac{dp}{dx}=\frac{2\tau}{r}$$

得到斯托克斯公式（也适用于湍流）：

$$\tau=-\frac{1}{2} \frac{dp}{dx}r=-\frac{G}{2}r$$

由牛顿黏性定律（只适用于湍流，对湍流还有雷诺应力），解得：

$$u=-\frac{1}{4\mu} \frac{dp}{dx}(R^2-r^2)$$

泊肃叶定律（只适用于层流流动）

$$Q=\frac{\pi}{8\mu}GR^4$$

可以计算沿程损失：

$$h_{f}=\frac{\Delta p}{\rho g}=\frac{Gl}{\rho g}=\frac{8\mu l}{\rho gR^2}V$$

圆管湍流流动

这章应该稍作了解即可。

雷诺应力与混合长度理论

湍流模型：平均速度 + 脉动速度

$$u=\bar{u}+u'$$

由 N-S 方程变形，可导出雷诺应力（与平均的脉动速度相关，推导与公式略）

圆管中的雷诺应力（斯托克斯公式）

$$\tau=\tau_{l}+\tau_{t}=\mu \frac{d\bar{u}}{dr}+\tau_{t}$$

$$\tau_{t}=\overline{dF/dA}=-\rho \overline{u'v'}$$

混合长度理论

$$\tau_{t}=-\rho \overline{u'v'}=\mu_{t}\frac{ \partial \bar{u} }{ \partial y }$$

圆管湍流速度分布

近似分布，都是半经验性的公式。

壁面摩擦速度：

$$u_{*}=\sqrt{ \frac{\tau_{w}}{\rho} }$$

光滑壁面附近的湍流速度分布

对数律（壁面湍流普适速度分布律）

$$\frac{\bar{u}}{u_{*}}=\frac{1}{k}\ln{\frac{yu_{*}}{\nu}}+C$$

由实验测得（不仅适用于近壁区域，也适用于湍流核心区）：

$$\frac{\bar{u}}{u_{*}}=2.5\ln{\frac{yu_{*}}{\nu}}+5.5$$

指数律（不具有普适性，n 与 Re 有关）

$$\frac{\bar{u}}{u_{m}}=\left( 1-\frac{r}{R} \right)^{1/n}$$

当 $Re=10^5$ 时，取 n=7：

$$\frac{\bar{u}}{u_{m}}=\left( 1-\frac{r}{R} \right)^{1/7}$$

圆管流动沿程损失（重点）

水头形式的伯努利方程的推广形式：

$$\left( \frac{V^2}{2g}+z+\frac{p}{\rho g} \right)_{1}=\left( \frac{V^2}{2g}+z+\frac{p}{\rho g} \right)_{2}+h_{L}$$

水头损失 $h_{L}$ 由两部分组成：

• 沿程损失 $h_{f}$：流体与管壁的摩擦造成的损失。
• 局部损失 $h_{m}$：截面面积变化、流动分离、或阀门等因素引起的损失。
• f=friction，m=minor loss factor

达西公式

$$h_{f}=\frac{\Delta p}{\rho g}$$

使用量纲分析法

$$\Delta p=\frac{1}{2}\rho V^2f\left( Re,\frac{\varepsilon}{d} ,\frac{l}{d}\right)$$

把 $\dfrac{\varepsilon}{d}$ 称为相对粗糙度。

实验表明，$\Delta p$ 与 $\frac{l}{d}$ 成正比，于是得到：

$$h_{f}=\lambda\left( Re,\frac{\varepsilon}{d} \right) \frac{l}{d}\frac{v^2}{2g}$$

这就是达西公式：

$$h_{f}=\lambda \frac{l}{d}\frac{v^2}{2g}$$

物理意义：沿程损失 = 达西摩擦因子 × 长细比 × 流体动能（速度水头）

达西摩擦因子的计算

水力光滑概念：管壁粗糙凸起物淹没在黏性底层中，壁面粗糙度对 $\lambda$ 无影响

• 层流流动时，边界层较大，显然水力光滑
• 湍流流动时，穆迪图标注出了水力光滑区

层流区，根据泊肃叶定律：

$$\lambda=\frac{64}{Re}$$

其他各类情况（查穆迪图即可）：

• 过渡区：流体由层流向湍流转捩，$2300<Re<4000$
• 湍流光滑区
• 湍流完全粗糙区：与雷诺数无关，仅与与相对粗糙度有关
• 湍流过渡粗糙区

穆迪图

会查图即可做题，注意时对数坐标系。

穆迪图作管道计算的三个问题：

• 正问题：$(d,\varepsilon) \to h_{f}$ ，求水头损失
• 反问题：$(d,\varepsilon,h_{f}) \to Q$ ，求流量（需要设初值迭代），初值选择完全粗糙区的 $\lambda$
• 反问题：$(Q,h_{f}) \to Q$ ，求管径（需要设初值迭代），初值直接取 $\lambda=0.025$（根据经验）

实际上 $\lambda$ 对初值不是很敏感，基本迭代一两步就能收敛。

对于第三个问题，将其他相关量用 $d$ 表示，会得到关于 $d$ 的五次方程，需要使用牛顿迭代法求数值解。牛顿迭代法求解该方程时，对初值较为敏感，可以直接忽略一次项，求出迭代的起点。

局部损失

仿照达西公式，写成如下形式：

$$h_{m}=K\frac{v^2}{2g}$$

默认值（题目画了就应当加上）：

• 流出水箱时，取 $K_{in}=0.5$
• 流入水箱时，默认 $K_{out}=1$，即动能全部损失

简单管路的全部损失（重点）

水头形式的伯努利方程的再推广形式（有能量的输入和输出，如水泵）：

$$\left( \frac{V^2}{2g}+z+\frac{p}{\rho g} \right)_{1}+H_{in}=\left( \frac{V^2}{2g}+z+\frac{p}{\rho g} \right)_{2}+h_{L}+H_{out}$$

全部损失为沿程损失和局部损失之和：

$$h_{L}=\sum h_{f}+\sum h_{m} =\sum \lambda \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}+\sum K\frac{v^2}{2g}$$

简单管路的损失也有三种类型，问题和方法和沿程损失非常类似。

C4 不可压缩黏性流体外流

C3 内流部分后面再讲。本章主要内容为边界层。

边界层概念

边界层特点

边界层流态

$$Re_{xcr}=3.2\times 10^5$$

边界层厚度

名义厚度

$$\delta=5\sqrt{ \frac{\mu x}{\rho U} }$$

$$\frac{\delta}{x}=5\sqrt{ \frac{\mu}{\rho Ux} }=\frac{5}{\sqrt{ Re_{x} }}$$

位移厚度

$$\delta^{*}=\int_{0}^{\delta}\left( 1-\frac{u}{U} \right)dy$$

动量厚度

$$\theta=\int_{0}^{\delta}\frac{u}{U}\left( 1-\frac{u}{U} \right)dy$$

边界层的边界不是流线

平板层流边界层精确解

普朗特边界层方程

N-S 方程

$$\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu \nabla^2 \mathbf{v}$$

忽略质量力

$$\rho \left( u\frac{ \partial u }{ \partial x } + v\frac{ \partial u }{ \partial y } \right) =-\frac{ \partial p }{ \partial x } +\mu \left( \frac{ \partial^2 u }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 u }{ \partial y^2 } \right)$$

通过量纲分析，得到（应该算作渐进方程）：

$$\begin{cases} \dfrac{ \partial u }{ \partial x } + \dfrac{ \partial v }{ \partial y } = 0 \\ \rho \left( u\dfrac{ \partial u }{ \partial x } + v\dfrac{ \partial u }{ \partial y } \right) =-\dfrac{ \partial p }{ \partial x } +\mu \dfrac{ \partial^2 u }{ \partial x^2 } \\ \dfrac{ \partial p }{ \partial y }=0 \end{cases}$$

边界层外的压强可以穿透边界层作用到壁面上。

对无压强梯度的平板边界层流动，可简化为：

$$\begin{cases} \dfrac{ \partial u }{ \partial x } + \dfrac{ \partial v }{ \partial y } = 0 \\ \rho \left( u\dfrac{ \partial u }{ \partial x } + v\dfrac{ \partial u }{ \partial y } \right) =\mu \dfrac{ \partial^2 u }{ \partial x^2 } \\ \end{cases}$$

边界条件为：

$$\begin{cases} y=0 &: \quad u=v=0 \\ y\to \infty &: \quad u=U,v=0,\dfrac{ \partial u }{ \partial y }=0 \end{cases}$$

布拉修斯平板边界层精确解（数值解）

求解层流平板边界层方程的数值解

$$\eta =y\sqrt{ \frac{U}{\mu x} }$$

定义当地雷诺数（只与位置有关）

$$Re_{x}=\frac{Ux}{\nu}$$

无量纲厚度：

$$\frac{\delta}{x}=\frac{5.0}{\sqrt{ Re_{x} }}$$

$$\frac{\delta^{*}}{x}=\frac{1.721}{\sqrt{ Re_{x} }}$$

$$\frac{\theta}{x}=\frac{0.664}{\sqrt{ Re_{x} }}$$

壁面切应力壁面切应力：

$$\tau_{w}=\left. \mu \frac{ \partial u }{ \partial y }\right|_{y=0}$$

$$\tau_{w}=\frac{0.332\rho U^2}{\sqrt{ Re_{x} }}$$

壁面局部摩擦系数：

$$C_{f}=\dfrac{\tau_{w}}{\dfrac{1}{2} \rho U^2}=\frac{0.664}{\sqrt{ Re_{x} }}$$

摩擦阻力系数（整体）

$$C_{Df}=\frac{1}{l}\int_{0}^{l}C_{f}dx=\frac{1.328}{\sqrt{ Re_{l} }}$$

平板所受摩擦阻力：

$$F_{D}=C_{Df} \cdot A\cdot\frac{1}{2}\rho V^2$$

边界层动量积分方程

有两种解法：

• 对普朗特边界层微分方程直接积分（书上方法）
• 对边界层取控制体用动量方程导出（建议使用）

可取 x 方向 $(x,x+dx)$ 与 y 方向上 0 到 $(\delta,\delta+d\delta)$ 的范围为控制体，列写动量方程即可。

推导略，注意在一般情况下沿平板有压强梯度，边界层外的均流速度随 x 变化。

这里直接给出结论：

$$\tau_{w}=\rho \frac{d(U^2 \theta)}{dx}+\rho \delta^{*}\frac{dU}{dx}$$

形状因子

$$\quad H=\frac{\delta^{*}}{\theta}$$

$$\frac{C_{f}}{2}=\frac{d\theta}{dx}+(2+H)\frac{\theta}{U} \frac{dU}{dx}$$

动量积分方程也适用于湍流

若无压强梯度，则为均流，于是：

$$\tau_{w}=\rho U^2 \frac{d\theta}{dx}$$

物理意义：壁面阻力相当于 dx 段的动量损失

进而得到：

$$F_{D}=\rho U^2 \theta$$

$$C_{f}=2\frac{d\theta}{dx}$$

无压强梯度平板边界层的近似计算

由于 $\theta$ 对速度分布不敏感，因此可以假定一个速度分布，然后即可计算，因此该方法为近似解。

做题时推导的二级结论：

对于湍流，通常会给出 $\tau_{w}$ 的式子。通过 $\tau_{w}=\rho U^2 \dfrac{d\theta}{dx}$ 关系，通常可得到如下形式的方程：

$$\frac{d\delta}{dx}=k\left( \frac{\delta_{0}}{\delta} \right)^{\alpha}$$

其中 $\delta_{0}=\dfrac{\mu}{\rho U}$

解得：

$$\frac{\delta}{x}=\left[ k(1+\alpha) \left( \frac{\delta_{0}}{x} \right)^{\alpha} \right]^{\frac{1}{1+\alpha}} =\left[ \frac{k(1+\alpha)}{Re_{x}^{\alpha}}\right]^{\frac{1}{1+\alpha}}$$

通常 $\alpha$ 会是一个分数，即以幂次分布作为近似的速度分布。

压强梯度的影响：边界层分离

这个好像是最先讲的。

• BC 段为顺压梯度： $\dfrac{dp}{dx}<0$
• CE 段为逆压梯度： $\dfrac{dp}{dx}>0$

结论：

• 边界层分离的根本原因是黏性。
• 分离的条件是逆压梯度。
• 分离的实际发生是由流体质点的停滞和倒流引起的。

例子：在收缩 ->扩张管内会发生分离。